SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9-THCS NĂM 2010
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi : 25.03.2010

ĐỀ CHÍNH THỨC


Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức:
A =
.
B =
với


Bài 2 : ( 4 điểm) Cho phương trình

Định
để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Định
để phương trình có nghiệm .
Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình:
a)

b)
.
Bài 4 : ()
a)Chứng minh rằng không có các số nguyên
nào thỏa mãn :


b)Cho
là ba số thực dương thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

Bài 5 : ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A, bán kính R với R nhỏ hơn AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A; R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng HM cắt đường tròn (A ; R) tại điểm thứ nhì là N.
a) Chứng minh hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A).

Bài 6 : ( 3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn và có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH ngoại tiếp một đường tròn.

HẾT










ĐÁP ÁN
Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức:
a)A =
.
b)B =
với

Giải
a)Ta có :



Vậy

b)Ta có :
B=

=

=

Bài 2 : ( 4 điểm) Cho phương trình

a)Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b)Định m để phương trình có nghiệm .

Để phương trình
có 2 nghiệm trái dấu thì ta phải có:

Ta có :


Xét m= -3 : Phương trình thành ra 3x-1 = 0 ( có nghiệm)
Xét m


Để phương trình có nghiệm thì :

Đáp số :

Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình:
a)

b)
.
Giải
a)
( 1 ) ĐK:

Đặt

Thì :

( 1 ) trở thành :

Xét
. Suy ra

Xét
. Suy ra

Vây nghiệm của phương trình ( 1 ) là :

b)
.


Phương trình trên vô nghiệm.
Bài 4 : ( 2 điểm)
a)Chứng minh rằng không có các số nguyên
nào thỏa mãn :


Giải 
Ta có : :

Vế trái là một số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1.
Xét vế phải : Ta có
là bội của 8 ;
chia cho 8 dư là 0 hoặc 2 tùy theo z chẵn hoặc z lẻ.
Vậy vế phải chia cho 8 dư là 5 hoặc 7.
Suy ra phương trình
không có x, y, z nguyên thỏa.

b)Cho
là ba số thực dương thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương :
, ta có:


Tương tự :




Vây

Vậy A đạt GTNN là 1 khi

Bài 5 : ( 4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A, bán kính R với R nhỏ hơn AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A; R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng HM cắt đường tròn (A ; R) tại điểm thứ nhì là N.
a)Chứng minh hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A).
Giải:
a)Tứ giác BMAH nội tiếp được cho ta :